การบวกและลบเลขฐานสอง

     1) การบวกเลขฐานสอง

         การบวกเลขฐานสอง ทำได้โดยเรียนแบบเลขฐานสิบ แต่ฐานสิบมีเลข 10 ตัว คือ 0 - 9 เมื่อบวกได้ 10 ต้องใส่ 0 แล้วทดไปข้างหน้า 1 หรือ 20 ก็ใส่ 0 แล้วทดไปข้างหน้า 2 ไปเรื่อยๆ เมื่อนำมาใช้กับเลขฐานสอง ซึ่งมีตัวเลฃสองตัวคือ 0 กับ 1 นำมาบวกกันได้ 2 ให้ใส่ 0 แล้วทดไปข้างหนั้า 1 เช่นกัน ดังตารางต่อไปนี้

นั่นคือ    0 + 0 = 0

		ตัวตั้ง
		0            1
ตัวบวก	0 1	0            1    1            0 _03.htmทด 1

             0 + 1 = 1

             1 + 0 = 1

             1 + 1 = 0 ทด 1

ตัวอย่าง จงบวกเลขฐานสองต่อไปนี้

     1) 110 +111

     2) 1011.101 +1110.001

วิธีทำ   1) 110 +111

                    1     (ตัวทด)

                    110

                 + 111

                   1101

           2) 1011.101 +1110.001

                   111      1  (ตัวทด)

                    1011.101

                 + 1110.001

                   11001.110

     2) การลบเลขฐานสอง

          การลบเลขฐานสองทำโดยตารางข้างล่างนี้ แต่เมื่อลบไม่ได้ ต้องมีการยืมหลักข้างหน้าสำหรับัวเลขฐานสองยืม 1 จะได้ 2 (เท่ากับฐาน)

		ตัวตั้ง
		0                             1
ตัวลบ	0 1	0                             1    1 ยืม 1                   0

นั่นคือ    0 - 0 = 0

             0 - 1 = 1 ยืม 1

             1 - 0 = 1

             1 - 1 = 0

ตัวอย่าง จงหาค่า 1010.11 - 111.01

วิธีทำ                 1 0 1 0 . 1 1

                        -   1 1 1 . 0 1

                          0 0 1 1 . 1 0

      1010.11 - 111.01 = 0011.10

แหล่งที่มาhttp://www.np.ac.th/np/Elearning/Computer/Mathforcom/BaseNum  30/08/56

คณิตศาสตร์มายากล

“ รหัสลับสลับเลข “

     มายากลชุดนี้มีต้นแบบมาจากรายการโทรทัศน์ที่มีชื่อภาษาไทยว่า  “ฉลาดสุดๆ”  ทางช่อง 9 อสมท. คืนวันพฤหัสบดี  แต่นานมากแล้ว จำวันที่ออกอากาศไม่ได้    โดยจะใช้การคำนวณขั้นพื้นฐานมาสร้างเป็นรหัสลับที่ดูเหมือนจะมีความซับซ้อน  แต่นักมายากลคณิตศาสตร์สมัครเล่น ก็สามารถไขปริศนาได้อย่างน่าอัศจรรย์ใจ

     นักมายากล ให้ผู้ชมเลือกจำนวนที่มีค่าไม่เกิน  100  ไว้ในใจหนึ่งจำนวน และตัวเลขทั้งสองหลักต้องไม่ซ้ำกัน  เช่นเลือก  1  ได้ เพราะเมื่อเขียนเป็นสองหลักจะหมายถึง  01  แต่เลือก  22  ไม่ได้ เพราะตัวเลขซ้ำกัน

     เมื่อผู้ชมเลือกจำนวนได้แล้ว นักมายากลบอกให้ผู้ชมสลับที่ตัวเลขทั้งสอง คือเปลี่ยนตัวเลขในหลักหน่วยไปอยู่ในหลักสิบ  และเอาตัวเลขในหลักสิบไปไว้ในหลักหน่วย  เช่น  จำนวนที่เลือก คือ  47  ให้สลับที่ตัวเลขได้จำนวนใหม่เป็น  74

     นักมายากลบอกให้ผู้ชมหาผลต่างของจำนวนทั้งสอง โดยให้จำนวนที่มีค่ามากกว่าเป็นตัวตั้ง แล้วลบออกด้วยจำนวนที่มีค่าน้อยกว่า  และจำคำตอบที่ได้เอาไว้  หรือจะเขียนเพื่อกันลืมก็ได้ แต่อย่าให้นักมายากลเห็นเป็นอันขาด  เช่น  เลือก  47  สลับที่ได้เป็น  74   ดังนั้นหาผลต่างได้ดังนี้   74 – 47  =  27    จำคำตอบ  27  ไว้ในใจ 

     เมื่อผู้ชมหาผลต่างเรียบร้อยแล้ว นักมายากลหยิบกระดาษรหัสลับขึ้นมา  1  แผ่น  และส่งให้ผู้ชมดูว่าจำนวนที่เป็นคำตอบนั้นตรงกับตัวอักษรใด  นักมายากลรับกระดาษรหัสลับคืน หลับตาทำสมาธิ  2 – 3  วินาที และเมื่อลืมตาขึ้นก็บอกตัวอักษรตัวนั้นได้ถูกต้อง

          ( ผู้ชมปรบมือแสดงความชื่นชม   นักมายากลคำนับผู้ชม   จบการแสดงมายากลชุด รหัสลับสลับเลข )

 เช่น   จำนวน     4,503.217   สามารถเขียนกระจายตามหลักได้ดังนี้

     4,503.217  =  ( 4 x 10³ ) + ( 5 x 10² ) + ( 0 x 10¹ ) + ( 3 x 10⁰ ) + ( 2 x 10^–1 ) + ( 1 x 10^–2 ) + ( 7 x 10^–3 )

                       =   4000 + 500 + 0 + 3 + 0.2 + 0.01 + 0.007

   กลับมาที่การแสดงมายากล  สมมุติว่าผู้ชมเลือกจำนวนเลขสองหลัก คือ  AB   โดยที่  A  และ  B  ไม่ใช่ตัวเลขตัวเดียวกัน เพราะไม่ให้ใช้จำนวนที่มีตัวเลขซ้ำกัน

  เมื่อเขียนกระจายตามหลักจะได้     AB   =   ( A x 10¹ ) + ( B x 10⁰ )

                                                          =   10A + B

 และเมื่อมีการสลับตำแหน่งจะได้เป็นจำนวน  BA

                                   ดังนั้น    BA   =   10B + A

       ต่อไปให้หาผลต่างของจำนวนทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าให้นำจำนวนที่มีค่ามากกว่าเป็นตัวตั้งแล้วลบออกด้วยจำนวนที่มีค่าน้อยกว่า

     กรณีที่ 1    ถ้า  AB  มีค่ามากกว่า  BA     (  เช่น   52   มีค่ามากกว่าจำนวนที่สลับที่ คือ  25  )

               จะได้ผลต่าง   =   AB – BA

                                   =   ( 10A + B ) – ( 10B + A )

                                   =   10A + B – 10B – A

                                   =   9A – 9B

                                   =   9 ( A – B )

     กรณีที่ 2    ถ้า  AB  มีค่าน้อยกว่า  BA     (  เช่น   39   มีค่าน้อยกว่าจำนวนที่สลับที่ คือ  93  )

               จะได้ผลต่าง   =   BA – AB

                                   =   ( 10B + A ) – ( 10A + B )

                                   =   10B + A – 10A – B

                                   =   9B – 9A

                                   =   9 ( B – A )

          จากทั้งสองกรณีจะเห็นได้ว่าค่าของผลต่างเป็นพหุคูณของ 9  หรือก็คือค่าของผลต่างที่ได้ต้องมี  9  เป็นตัวคูณอยู่ด้วยเสมอ    ในขณะที่ค่าของ  A – B  หรือ  B – A  สามารถเป็นได้ตั้งแต่  1  ถึง  9   แสดงว่าผลต่างที่ได้จะต้องเป็นเพียงค่าใดค่าหนึ่งต่อไปนี้เท่านั้น  คือ   9 , 18 , 27 , 36 , 45 , 54 , 63 , 72  หรือ  81

          ดังนั้นในการสร้างแผ่นรหัสลับ  ตัวอักษรที่จะเขียนอยู่กับตัวเลข 9 , 18 , 27 , 36 , 45 , 54 , 63 , 72  หรือ  81 ต้องเป็นตัวอักษรตัวเดียวกัน  ซึ่งนักมายากลจะสามารถทายตัวอักษรได้ทันที   แต่ต้องสร้างแผ่นรหัสลับที่ไม่ให้ผู้ชมสังเกตพบลักษณะพิเศษนี้ได้ง่าย  โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าต้องแสดงซ้ำหลายครั้งก็จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องทำแผ่นรหัสลับที่แตกต่างกันออกไปหลายๆ แบบ

ที่มา: http://mathsfree4u.blogspot.com/2012/09/2.html  30/08/56

คณิตศาสตร์กับงานศิลปะ





การผสมผสานระหว่างศิลปะกับคณิตศาสตร์

สำหรับส่วนนี้จะนำเสนอเกี่ยวกับผลงานทางศิลปะซึ่งจำลองหรือสร้างมาจากสมการทางคณิตศาสตร์ มีทั้งแบบ 2 มิติ 3 มิติ ทั้งแบบเส้นและ  แบบกราฟิก ซึ่งมีความสวยงามจนไม่น่าเชื่อว่าล้วนแต่มาจากสมการทางคณิตศาสตร์ที่คอมพิวเตอร์ใช้ในการสร้างรูปเหล่านี้ขึ้นมา

ไม่ใช่เพียงแค่ความสวยงามเท่านั้นที่ได้รับจากการผสมผสานคณิตศาสตร์เข้ากับศิลปะดังที่แสดงไว้ข้างต้น แต่ยังทำให้ได้รับประโยชน์อื่นๆจากสิ่งเหล่านี้ ได้แก่
ช่วยเชื่อมโยงการทำงานของสมองทั้งซีกซ้ายและซีกขวาให้เป็นไปอย่างมีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้น
ทำให้คนทั่วไปมีใจรักในคณิตศาสตร์หรือมองเห็นคุณค่าและความงามของคณิตศาสตร์มากขึ้น
นำไปสู่การออกแบบศิลปะรูปแบบใหม่ๆ แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์กับธรรมชาติอย่างเป็นรูปธรรม

ที่มา : https://sites.google.com/site/loveant4444/kar-phsm-phsan-rahwang-silpa-kab-khnitsastr 

วันที่ 30 สิงหาคม 2556

 







เทคนิกการคิดเลขเร็ว

เด็กนักเรียนเริ่มรู้จักตัวอักษร ก, ข, ... พร้อมกับตัวเลข 1, 2, 3 ... และเรียนรู้วิธีสะกดคำ พร้อมกับการนับเลขซึ่งเป็นพื้นฐานของการคำนวณ ถ้าเด็กสามารถบวกเลข 1 หลักได้ ก็สามารถหาผลบวกของเลขกี่หลักก็ได้ เพราะการบวกเลขหลายหลักใช้วิธีคำนวณทีละหลักแล้วทดไปหลักถัดไป การบวกเลขง่ายกว่าการอ่านหนังสือเพราะตัวเลขมีเพียง 10 ตัว (0-9) นำมาจับคู่บวกกันได้ 10 x 10 = 100 คู่ (เลข 1 หลัก) แต่ตัวอักษร สระ และวรรณยุกต์มีถึง 44 ตัว นำมาผสมเป็นคำศัพท์ต่าง ๆ ได้มากกว่า 100 คำ สิ่งที่น่าประหลาดใจคือ มีนักเรียนจำนวนมากสามารถอ่านหนังสือได้โดยไม่ต้องสะกด แต่ไม่สามารถหาผลบวกได้โดยไม่ต้องนับ การอ่านหนังสือโดยไม่ต้องสะกดเป็นเรื่องสำคัญมากเพราะถ้านักเรียนยังคงต้อง สะกดทุกคำในการอ่าน จะไม่สามารถอ่านตำราเป็นเล่มได้รู้เรื่อง เพราะเสียสมาธิไปกับการสะกด แทนที่จะใช้สมาธิไปกับเนื้อหาที่อ่าน ทักษะการคำนวณก็เช่นกัน หาก นักเรียนต้องใช้สมาธิไปกับการนับเลขเพื่อหาผลลัพธ์จะทำให้เหลือสมาธิสำหรับแก้ปัญหาอื่นน้อยลง

คำถามที่น่าสนใจคือ ทำไมนักเรียนสามารถอ่านหนังสือโดยไม่ต้องสะกดได้ แต่ไม่สามารถบวกเลขโดยไม่ต้องนับ ? ทั้งที่ตัวเลขมีเพียง 10 ตัว (0-9) แต่ตัวอักษร สระ และ วรรณยุกต์ไทยมีถึง 44 ตัว ผลลัพธ์น่าจะกลับกัน ส่วนหนึ่งเป็นผลมาจากการปลูกฝังความคิดว่าคณิตศาสตร์เป็นเรื่องของความเข้าใจ ขอให้เข้าใจก็พอ ไม่ต้องจำ นักเรียนส่วนใหญ่จึงหยุดพัฒนาทักษะด้านคำนวณ เพราะเมื่อนับแล้วได้คำตอบ ก็แสดงว่าเข้าใจแล้ว ไม่จำเป็นต้องมีทักษะมากไปกว่านี้ นอกจากนี้การใช้เครื่องคิดเลขจนเคยชิน มีส่วนทำให้ทักษะในการคำนวณหดหายไป แต่ในการสอบแข่งขันมักไม่อนุญาตให้ใช้เครื่องคิดเลข

เนื้อหาส่วนนี้เป็นการนำเสนอวิธีพัฒนาความเร็วในการบวก ลบ คูณ และหารเลข ซึ่งเป็นทักษะการคำนวณที่จำเป็นอย่างมากในการทำข้อสอบ เนื่องจากทุกสนามสอบมีการจำกัดเวลา นักเรียนต้องคำนวณให้ได้คำตอบที่ถูกต้องก่อนหมดเวลา ดังนั้นผู้ที่สามารถคิดเลขได้เร็วกว่าย่อมได้เปรียบ

วิธีสอนบวกเลขในชั้นอนุบาล เริ่มจากการนับ การบวกคือนับเพิ่ม เช่น วิธีหาคำตอบของ 5 + 3 คือนับต่อจาก 5 ไปอีก 3 นักเรียนหาผลบวกโดยนับ 6, 7, 8 ดังนั้นคำตอบของ 5 + 3 คือ 8 การหาผลบวกโดยการนับเป็นการสอนให้เข้าใจความหมายของการบวกเลข หากต้องการพัฒนาทักษะการบวกให้ได้คำตอบอย่างรวดเร็วจำเป็นต้องนำเทคนิคอื่นมาใช้แทนวิธีนี้ ถ้าไม่ใช้วิธีนับแล้วจะหาคำตอบได้อย่างไร ? ขอให้นึกถึงการพัฒนาทักษะการอ่านหนังสือของเรา เมื่อเริ่มเรียนหนังสือ เราถูกสอนให้สะกดเสียงตามตัวอักษร แล้วนำเสียงที่สะกดมารวมเป็นเสียงของคำ เมื่อเราเข้าใจวิธีสะกด และสะกดซ้ำ ๆ จนชำนาญ จากนั้นจะเกิดการพัฒนาอีกระดับหนึ่งที่สำคัญมากคือสามารถอ่านเสียงของคำนั้นได้ทันทีที่เห็นโดยไม่ต้องสะกด

เช่น เมื่อเห็นคำว่า "กัด" เราอ่านออกเสียงได้ทันทีว่า กัด ถ้าสลับระหว่างตัว "ก" และ "ด" จะได้คำว่า "ดัก" ซึ่งอ่านออกเสียงว่า ดัก เราสามารถอ่านออกเสียงได้ทันทีที่เห็นโดยไม่ต้องสะกด เพราะเราจำคำศัพท์นั้นทั้งคำ ไม่ใช่จำแค่ตัวอักษร แต่เราจำตำแหน่งการวางตัวอักษรด้วย นั่นคือเราจำคำศัพท์เหมือนเป็นสัญญาลักษณ์ของเสียง ถ้าเราประยุกต์หลักการนี้กับการบวกเลข เมื่อเห็น 5 + 3 เราจะบอกคำตอบได้ทันทีว่า 8 เราจำ 5 + 3 เป็นสัญญาลักษณ์แทนเลข 8 ซึ่งเป็นคำตอบของผลบวก เช่นเดียวกับที่เราจำศัพท์เป็นสัญญาลักษณ์แทนเสียงของคำ เทคนิคนี้ทำให้เราหาผลบวกได้เร็วพอ ๆ กับการอ่านหนังสือโดยไม่ต้องสะกด

การอ่านหนังสือโดยไม่ต้องสะกดเป็นเรื่องธรรมดาที่ทุกคนทำได้ ขอให้นึกย้อนกลับไปในอดีตว่าเราทำอย่างไรจึงสามารถพัฒนาความสามารถขึ้นมาได้ถึงระดับนี้ ตอนนี้เราจะย้อนกลับไปทำอย่างนั้นอีกครั้งแต่ไม่ใช่กับตัวหนังสือ แต่เป็นตัวเลข

ถ้านำเลข 10 ตัว คือ 0-9 มาจับคู่บวกกัน 1 หลักจะได้คู่บวกทั้งหมด 10 X 10 = 100 คู่ ซึ่งใช้เป็นพื้นฐานของการบวกเลข ไม่ว่าจะบวกเลขกี่หลัก ก็คำนวณจากคู่บวกพื้นฐานนี้ เพราะการบวกเลขหลายหลัก ทำโดย บวกทีละหลัก เริ่มจากหลักขวาสุด (หลักหน่วย) ถ้าผลบวกเกิน 10 จะทดไปหลักถัดไป ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบทุกหลัก

ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องจำถึง 100 คู่ เพราะเลข 0 ไม่มีความหมายในการบวกเลข 0 บวกกับเลขใดก็ได้คำตอบเท่ากับเลขตัวนั้น ดังนั้นตัดเลข 0 ทิ้ง ในทำนองเดียวกันสามารถตัดเลข 1 ทิ้ง เพราะการบวกด้วย 1 ทุกคนหาคำตอบได้ทันทีโดยไม่ยุ่งยาก เหลือตัวเลขเพียง 8 ตัวคือ 2 - 9

ถ้านำมาจับคู่บวกจะได้ 8 x 8 = 64 คู่

ไม่ต้องจำคู่บวกถึง 64 คู่ เพราะสามารถใช้เทคนิคบางอย่างช่วยดังนี้ 1. การบวกมีคุณสมบัติการสลับที่ หมายถึงเมื่อสลับที่ระหว่างตัวตั้งและตัวบวกจะได้คำตอบเท่ากัน เช่น 2+3 = 3+2 คู่บวกที่อยู่ทางซ้ายของเส้นทแยงมุมสีฟ้าให้ผลบวกเท่ากับคู่บวกที่อยู่ทางขวาของเส้นทแยงมุม นั่นคือตัวเลขที่ระบายสีเขียวนี้ไม่ต้องจำ 2. การบวกตัวเลขที่เท่ากัน ใช้วิธีคูณด้วย 2 เช่น 6+6 = 6x2 = 12 ดังนั้นชุดตัวเลขที่อยู่ในแนวสีฟ้าไม่ต้องจำ 3. การบวกตัวเลขที่ต่างกันอยู่ 1 สามารถปรับให้เลขเท่ากันโดย +1 หรือ -1 แล้วคูณด้วย 2 จากนั้นชดเชยผลคูณด้วย - 1 หรือ +1 อีกครั้ง ตัวอย่าง 6+7 = 6+6+1 = (6x2)+1 = 13 หรือ 6+7 = 7+7-1 = (7x2)-1 = 13 ดังนั้นไม่ต้องจำคู่บวกในตารางที่เป็นสีชมพู 4. การนำเลข 9 ไปบวกกับตัวเลขอื่น ใช้เทคนิคทำให้เลข 9 เป็นเลข 10 ซึ่งช่วยให้การบวกเลขง่ายขึ้น 6+9 = (5+1)+9 = 5+(1+9) = 5+10 =15 ดังนั้นจึงไม่ต้องจำคู่บวกของ 9 เพราะหาคำตอบได้เร็วโดย - 1 ออกจากตัวที่นำมาบวกกับ 9

เหลือคู่บวกที่อยู่ในช่องสีขาวคือคู่บวกที่ต้องจำ ซึ่งมีเพียง 15 คู่ ในบรรดาคู่บวกเหล่านี้ขอเน้นคู่ที่ให้ผลบวกเป็น10 เพราะช่วยให้การบวกเลขง่ายขึ้น และช่วยให้การลบเลขเร็วขึ้นด้วย (ดูเทคนิคการลบเลขเร็วโดยใช้คู่บวกที่ให้ผลบวกเป็น 10 ) การจำคู่บวกเพียง 15 คู่เป็นเรื่องเล็กน้อยมาก เมื่อเทียบกับการจำคำศัพท์ในพจนานุกรมที่เราสามารถอ่านออกเสียงได้เกือบทุกคำโดยไม่ต้องสะกด เราสามารถจำคำศัพท์ได้มากมายเพราะเราใช้คำเหล่านั้นในชีวิตประจำวัน ทั้งพูด อ่าน เขียน ดังนั้นวิธีการที่ทำให้เราจำคู่บวกได้แม่นยำคือต้องเห็นคู่บวกเหล่านี้ทุกวัน และนำมาใช้บ่อย ๆ เหมือนการใช้ภาษาในชีวิตประจำวัน มาจับคู่บวกจะได้ 8 x 8 = 64 คู่ ดังนี้

ใช้เวลาช่วงเดินทางบนท้องถนนฝึกบวกเลข โดยหาผลบวกของเลข 4 ตัวในทะเบียนรถ เช่น ทะเบียนรถ "สจ 5634" ผลบวกคือ 5+6+3+4 = 18 ในการฝึกห้ามใช้วิธีนับ เพราะวัตถุประสงค์การฝึกคือต้องการเลิกให้วิธีนับ ให้ใช้เทคนิคต่าง ๆ ที่กล่าวไว้ข้างต้น ขอให้ฝึกแบบสนุก โดยคิดว่ากำลังเล่นวิดีโอเกมไล่ยิงรถที่วิ่งอยู่บนท้องถนน กติกาของเกมคือหาผลบวกของเลข 4 ตัวในทะเบียนรถ ถ้าได้ผลบวกก่อนที่รถคันนั้นเคลื่อนที่ไปพ้นสายตาถือว่ายิงถูกเป้า แต่ถ้ามันเคลื่อนพ้นสายตาไปแล้วยังไม่ได้ผลบวกแสดงว่ายิงพลาดเป้า ขอให้เล่นเกมนี้ทุกวันที่เดินทางบนถนน เล่นจนจำผลบวกของตัวเลข 1 หลักได้ทุกคู่ เหมือนจำศัพท์ที่ใช้ในชีวิตประจำวันได้ทุกคำ หลังจากฝึกบวกเลข 1 หลักจนชำนาญแล้ว ให้ฝึกบวกเลข 2 หลัก โดยแบ่งเลข 4 ตัวในทะเบียนรถ เป็นเลข 2 หลัก สองจำนวน แล้วนำสองจำนวนนี้บวกกัน เช่น 5634 = 56 + 34 = 90 เริ่มบวกหลักหน่วยก่อนคือ 6+4 =10 ได้ 0 ที่หลักหน่วยของคำตอบแล้วทด 1 ไปหลักสิบ ผลบวกของหลักสิบคือ 5+3 และบวกที่ทดไว้อีก 1 ได้ 9 ที่หลักสิบ คำตอบทั้งหมดคือ 90 เมื่อฝึกจนจำคู่บวกทุกคู่ได้อย่างแม่นยำแล้ว เราจะสามารถบวกเลขได้เร็วเหมือนอ่านหนังสือ

ฝึกบวกเลขเร็ว

ทักษะการบวกเลขเร็วเกิดจากการทำซ้ำ ๆ ทุกวัน เหมือนการหัดอ่านหนังสือ ต้องอ่านทุกวันเพื่อให้อ่านได้คล่อง แม้จะเข้าใจหลักการการฝึก แต่หลายคนไม่สามารถปฏิบัติได้สำเร็จ เพราะเกิดความเบื่อหน่ายที่ต้องทำสิ่งเดิมซ้ำ ๆ ทุกวัน

ที่มา: http://www.mathsmethod.com/speedup-add.php     19/08/56